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CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

 

CARACTERISTICAS:

¿Que  sucede  en  circuitos de  corriente  alterna cuándo se conectan distintos tipos de receptores?

Para  responder  a dicha cuestión observaremos los resultados  de una experiencia preliminar:

La  de aplicar a un receptor dado tres tensiones del mismo modulo pero de distinta frecuencias, por ejemplo:

U= 100 [V]          f= 0 [Hz], f= 50 [Hz], f= 1000 [Hz]

Como receptores serán conectados sucesivamente:

1)Un  conductor  de  gran longitud  recto,  cuya  resistencia  se calcula por la formula de resistividad eléctrica.

2)El  mismo  conductor  anterior pero arrollado sobre  un  núcleo cerrado  de hierro y en forma de una gruesa  bobina  constituidas por varias capas de espiras, con un núcleo de hierro para obtener una mayor autoinducción.

3)Un capacitor.

Los  resultados  obtenidos  se  resumen  en  la  siguiente  tabla numérica:

Frecuencia (Hz.)

Conductor recto (A)

Bobina (A)

Capacitor (A)

0

100

100

0

50

100

1

0,1

1000

99,5

0,05

2

En todos los casos la tensión aplicada es   U=100 [V]  

En  base  a  los  datos obtenidos completar  la  siguiente  tabla calculando el valor de la resistencia de los receptores según  la ley de OHM.

Frecuencia (Hz.)

Conductor recto ( )

Bobina ( )

Capacitor ( )

0

 

 

 

50

 

 

 

1000

 

 

 

Con los datos obtenidos resolver el siguiente cuestionario:

1)  Comparar los valores de las resistencias del conductor  recto (resistencia  ohmica) calculadas en función  de  la  longitud sección y resistividad del material, y los obtenidos a  distintas frecuencias.

2)En base a lo anterior sacar una primera conclusión.

3)Interprete  la  columna  N°2 de la segunda tabla,  y  saque  una segunda conclusión.

4)Que  conclusión  puede extraer de la columna N°3 de  la  segunda tabla.

En  base a los datos obtenidos del ensayo  definiremos  distintas clases de resistencias en un circuito de corriente alternada                         

Denominación

Símbolo

Unidad

Resistencia ohmica

R

Resistencia inductiva

XL

Resistencia capacitiva

XC

CIRCUITO OHMICO PURO

  Analizaremos  a  continuación que sucede entre la corriente y  la tensión  en  un  circuito alimentado por una fuente de  corriente alterna, cuando al mismo se encuentra conectado una resistencia R.

Dicho  receptor  no  presenta fenómenos de  autoinducción  ni  de capacidad, y  sólo se manifiesta por su resistencia.  

A este tipo de circuito lo llamaremos OHMICO O RESISTIVO. Las lámparas incandescentes y los calefactores cumplen  aproximadamente estas condiciones.

Si  a  los  terminales del receptor conectamos  un  generador  de corriente  alternada  senoidal,  tendremos la  siguiente  función matemática que representa la tensión aplicada al circuito:

  u = Umax .sen ( )

  1) Responder  cuál será el valor de la corriente  eléctrica  que circula por el circuito, aplicando la ley de OHM.

 I =

  2) Representar el circuito correspondiente

  3) Teniendo  encuenta  las  ecuaciones de la  tensión  y  de  la corriente   elaborar   los  diagramas   cartesiano   y   fasorial correspondiente.

  4) Observando las ondas representadas indicar si tienen igual período. Justificar la respuesta.

  5) Existe defasaje entre los valores de la tensión y la corriente en este tipo de circuitos.

  6)Tomando  encuenta  las respuestas que conclusiones  sacaría  de este tipo de circuitos.

  CIRCUITO INDUCTIVO

  A  continuación  tomaremos  un circuito donde la  carga  será  un sistema  inductivo  puro,  que  no representa ni  resistencia  ni capacidad,   y   que  se  caracteriza  por  su   coeficiente   de autoinducción L.

Este  tipo  de receptor se puede lograr con una bobina de  muchas espiras y una resistencia de valor despreciable.

Si  la bobina se la conecta a un generador de corriente  alterna, cuyo valor de la corriente instantánea es:

   i= Im x. sen wt     (I)

Esta   corriente  nos  proporciona  en  la  bobina  una  fem   de autoinducción que por la ley de FARADAY-LENZ es:

 

                         e=- L di/dt

    e=- L d(Im x. sen wt)/dt

                        resolviendo la derivada

                       e= wL. Im x. sen (wt-/2

Para  vencer  esta contra tensión e aparecida en el  seno  de  la bobina  es  necesario  aplicar a los bornes una tensión  igual  y opuesta que se llama CAIDA INDUCTIVA.

u= wL. Im x. sen (wt + /2)  (II)

  Analizando   lo   desarrollado  anteriormente  responde   a   las siguientes preguntas:

1)Al  comparar  las ecuaciones (I) y (II),  qué  sucede  con  los períodos de la tensión y de la corriente.

  2)Existe  algún defasaje entre la tensión y la corriente,  si  es así de cuanto es, y quien adelanta a quien.

  El siguiente croquis  representa el circuito correspondiente: 

fig 8

  3)Elaborar los diagramas fasoriales y cartesianos de la corriente la tensión y fuerza electromotriz.

En la ecuación (II) la unidad de medida es el [volt], ahora bien si aparece un factor que es la corriente, aplicando la ley de ohm debe  faltar el término que corresponde a la resistencia.

4)Indicar cual es

Ese término se denomina REACTANCIA INDUCTIVA o INDUCTANCIA y   la unidad es el [OHM].

5) Reemplazar el valor de la velocidad angular por otros factores que representen lo mismo y está en función de la frecuencia.

6)Escribir  la ecuación de la REACTANCIA INDUCTIVA en función  de la velocidad angular, y también en función de la frecuencia.

La simbología que se utiliza para identificar la reactancia es:

 

XL

CIRCUITO CAPACITIVO

  Supongamos  ahora  que  conectamos a un  generador  de  corriente alternada,  un  capacitor  perfecto.

A  este tipo de  receptor  lo llamaremos  CIRCUITO  CAPACITIVO PURO,  y estas  condiciones  las

cumplen con suficiente aproximación los buenos capacitores.

La corriente que circula por el circuito vale

 

                         i= dQ/dt      (III)

si  considera la definición de corriente eléctrica en función  de la carga que pasa en un intervalo de tiempo.

La  carga  de  un capacitor de capacidad C cuando  se  le  aplica una diferencia de potencial ddp U es:

 

                         Q= C.U

Si  se  lleva  la  expresión anterior  a  la  forma  diferencial, suponiendo constante C

 

                         dQ= C.du

  reemplazando el valor de dQ en la ecuación (III)

 

                         i= C.du/dt

Dado  que  el  capacitor está conectado a una fuente  de  tensión instantánea de forma senoidal el valor de la tensión sera:

 

                         u= Um x. sen(wt)          (IV)

                         i= C. du. sen (wt)/dt

 

resolviendo la derivada  i= W. C. U. cos(wt)      (V)

 

                    como el cos (wt)= sen (wt + /2)

 

                    y W.C= 1/(1/W.C)

 

reemplazando en la ecuación (V)

                 [1]i= 1/(1/W.C).U sen (wt +  /2)[1]   (VI)

Analizando lo anterior responder a las siguientes preguntas:

1) Qué sucede con los períodos de la tensión y la corriente.

 2) Existe algún defasaje entre la tensión y la corriente, de  ser así cuanto es, y quien adelanta a quien.

 3)  Elaborar el diagrama cartesiano y fasorial de la corriente  y la tensión teniendo en cuenta las ecuaciones (IV) y (VI).

 4) En la ecuación (VI) la unidad de medida es el [A] si un término es la tensión, aplicando la ley de Ohm falta definir la resistencia. Indicar cu l es.

Esa  expresión se denomina REACTANCIA CAPACITIVA y la unidad  de medida es el ohm. La simbología que se utiliza es la siguiente:

Xc

5)  Expresar el valor de Xc en función de la velocidad angular  y de la frecuencia.

RELACION ENTRE LOS FASORES Y LOS NUMEROS COMPLEJOS

Trataremos  ahora  de  establecer la relación que hay  entre  los fasores  y los nmeros complejos.  La tensión y la  corriente  se pueden  representar  por fasores (vectores giratorios),  pero  un fasor puede ser representado por un nmero complejo.

1) Dibuja un fasor de corriente con un ángulo cualquiera en  el primer cuadrante.

  2) Identifica  en ese dibujo el centro de coordenadas con la letra ፍO, los ejes x e y, y al vector con la letra I.

  3) Descompone el fasor en sus dos componentes x e y, e identifica esos vectores con las letras I1, I2.

  4)  Escribe al fasor I en forma compleja,  indicando cual  es  la parte real y cual la imaginaria.

Como  norma  a partir de este momento el  término  imaginario  lo individualizaremos por el operador j.

 5) teniendo encuenta el triángulo formado en la figura indicar:

     a) Cuanto vale el modulo del fasor I

     b) Cuanto vale el argumento considerando sus componentes

 El fasor en forma compleja se puede expresar de cuatro formas:

         

                    I= I1 + jI2  (cartesiana o binómica)

 

                    I= I( cos +jsen )  (trigonométrica)

                        L

                    I= I                (polar o exponencial)

Es  necesario  recordar  que el operador j es igual  a  la  raíz cuadrada de menos uno,  y que goza de  la propiedad de girar a la magnitud que afecta en un ángulo de 90 grados.

Esto  quiere decir que la notación jI2 esta /2 girada del eje de coordenadas ox.

Las cantidades que concuerdan con el eje [1]ox se llaman  CANTIDADES REALES y las que concuerdan con el eje oy CANTIDADES IMAGINARIAS[1].

LEY DE OHM GENERALIZADA (Impedancia)

En el análisis de los puntos anteriores de circuitos resistivos, inductivo y capacitivo se han estudiados casos ideales, imposible de conseguir.

Pero  los  receptores  de energía conectados  a  un  circuito  de corriente alterna indefectiblemente poseen las tres cualidades:

RESISTENCIA AUTOINDUCCION CAPACIDAD

Analizaremos  un circuito que reúna estas tres características  y que están conectadas en serie.

1)Elabore  un  circuito  que responda a la consigna  anterior  de acuerdo  a  las normas Iram, indicando en cada receptor  con  las letras  Ur, Ul, Uc las caídas de tensión en cada receptor, y  con la letra U la tensión de la fuente de alimentación.

2)  Aplicar la ley de Kirchhoff de las caídas de tensión al  circuito anterior.

3) Expresar esas caídas parciales en forma compleja

 4)  Reemplazar los valores de las tensiones expresadas  en  forma compleja en la ecuación de tensiones del punto 2.

 5) Reducir la ecuación a su mínima expresión

 El término (Xl - Xc) se denomina REACTANCIA TOTAL y se la  indica con la letra X.

 La ecuación del punto 5 indica el valor de la tensión total en el circuito de referencia en función de la corriente y evidentemente de la resistencia:

 6)Indicar cuales son esos elementos

 7)  Lo anterior se denomina IMPEDANCIA y se la simboliza  con  la letra Z, por lo tanto expresar la ecuación de la ley de ohm a  la luz de este nuevo elemento.

DIAGRAMA FASORIAL DE LA IMPEDANCIA

 1) Elaborar un diagrama de corriente y tensiones que responda  al circuito serie del punto anterior

 2)  Indicar si la corriente total y la tensión total del circuito están en fase, de no ser así marcar el ángulo en el diagrama.

 A  partir del diagrama de corriente y tensiones  elaboraremos  el correspondiente al de impedancia.

Para ello procederemos de la siguiente manera:

Primero dibujaremos un diagrama de las mismas medidas que el  de tensiones ya realizado, pero en este caso se individualizara cada fasor por los valores de resistencia y corriente correspondiente.

Segundo se dibuja un segundo diagrama con los mismos ángulos pero en este caso se divide cada valor de las tensiones por I, lo  que dara como consecuencia un valor nuevo del modulo del fasor

Este ultimo diagrama se denomina DIAGRAMA FASORIAL O VECTORIAL DE IMPEDANCIA.

El diagrama anterior se puede reagrupar de otra manera:

El  fasor  sobre  el eje ox (reales)  representa  la  RESISTENCIA OHMICA.

El fasor sobre el eje oy (imaginarios) representa la REACTANCIA.

La resultante de la resistencia y la reactancia es la IMPEDANCIA.

3)  Medir el ángulo de la posición del vector tensión total y  el de  la  posición de la impedancia y compararlos.  Responder  como son.

4)  Que  conclusión saca con respecto a los ángulos  de  defasaje entre  tensión y corriente y el de la posición de  la  impedancia total del circuito.

5)  Representar la impedancia en forma compleja en función de  la resistencia y de la reactancia

6)  Expresar las ecuaciones para calcular el modulo  y  argumento del vector impedancia;

Ejemplos de aplicación

1) Calcular  las corrientes que toman conectadas a 220 [V]  eficaces 50 [c/s] las siguientes cargas:

a) Una estufa de 50 ohm (Carga ohmica  pura)  

b)  Una  bobina de 100 [mm H] de autoinducción  (Carga  inductiva pura)

c)  Un  capacitor  de  50  micro  faradios  de  capacidad  (Carga capacitiva pura).;

2) A   una   bobina  de  reactancia  cuya  resistencia   óhmica   es prácticamente  despreciable se le aplica una tensión senoidal  de u= 125 [V] eficaces y frecuencia f= 50 [Hz]. El amperímetro marca 10 [A]. Determinar el coeficiente de autoinducción de la bobina.

3) Un alternador bipolar gira a razón de 6.000 [rpm] y se conecta  a un  capacitor de capacidad C= 20 micro faradio. Calcular la  tensión necesaria para obtener una corriente de I= 0.5 [A].

4) A las tres cargas del primer problema se la aplican las siguientes frecuencias:  

0    [Hz]             25   [Hz]             50   [Hz}         60   [Hz]              100  [Hz]

con una tensión de 220 [V] en todos  los casos. Representar gráficamente en papel milimetrado las reactancias  en función de la frecuencia y responder:

a)La resistencia es independiente de las frecuencias del ejemplo.

b)Como  crece  la reactancia inductiva y que  sucedería  a  altas frecuencias.

c)Como  crece  la reactancia capacitiva y que sucedería  a  altas frecuencias.

5) A  un capacitor de capacidad C= 8 micro faradio se la aplica  una

tensión senoidal de valor eficaz U= 220 [V].

La corriente que marca el amperímetro es de I= 0.55  [A].  Cuanto

vale la ,frecuencia.

6)Una resistencia de 50 ohm, una reactancia inductiva de 31,40  ohm y una capacitiva de 63,63 ohm están conectadas en serie y  conectadas a una fuente de tensión de 220 [V] y 50 [Hz].Determinar:   

a)la impedancia total

b) la intensidad total del circuito

c) La caída de tensión en cada receptor

d) El ángulo de defasaje de cada cada de  tensión con respecto a la corriente.

e)El     diagrama    fasorial de    tensiones     y corriente, tomando a la tensión total como referencia sobre el eje ox El trabajo hacerlo sobre papel milimetrado.

 f)El  diagrama vectorial de impedancia,  en  papel milimetrado.

7)Una resistencia de 30 ohm, y una reactancia inductiva de 75,4 ohm se  hallan conectadas en serie a una red.  Expresar la impedancia

total en forma binómica, trigonométrica y polar de un complejo.

ANALISIS DE UN CIRCUITO RL

Dibuja  un circuito serie en donde aparezcan como receptores  una resistencia  y una bobina, indica además con las letras R, L,  Z, U, Ur, Ul, a la resistencia, la bobina, la impedancia total,  las caídas de tensiones parciales y la caída total, respectivamente.

Escribe  las ecuaciones que permitan calcular en  forma  compleja  la impedancia y el ángulo  en función de los receptores.

Ademas elabora el diagrama fasorial y vectorial de las  tensiones y la impedancia del circuito.

Dibuja el diagrama cartesiano de la corriente y las tensiones del circuito.

En función de lo anterior responder a lo siguiente:

1)Cuanto vale el ángulo de defasaje entre la caída de tensión  en la resistencia y la corriente.

2)Cuanto vale el ángulo de defasaje entre la caída de tensión  en la bobina y la corriente.

3)El  ángulo  de defasaje de la tensión total y la  corriente  es positivo, y entre que valores límites puede variar.

4)Escribe las ecuaciones que permita calcular la corriente  total del circuito en forma compleja y el módulo de dicha corriente.

ANALISIS DE UN CIRCUITO RC

Dibuja  un circuito serie en donde aparezcan como receptores  una resistencia y un capacitor, indica además con las letras R, C, Z, U,  Ur, Uc, a la resistencia, el capacitor, la impedancia  total, las  caídas de tensiones parciales y la caída total,  respectivamente.

Escribe  las ecuaciones que permitan calcular en  forma  compleja  la impedancia y el ángulo  en función de los receptores.

Ademas elabora el diagrama fasorial y vectorial de las  tensiones y la impedancia del circuito.

Dibuja el diagrama cartesiano de la corriente y las tensiones  del circuito.

En función de lo anterior responder a lo siguiente:

1)Cuanto vale el ángulo de defasaje entre la caída de tensión  en la resistencia y la corriente.

2)Cuanto vale el ángulo de defasaje entre la caída de tensión  en el capacitor y la corriente.

3)El  ángulo  de defasaje de la tensión total y la  corriente  es positivo, y entre que valores límites puede variar.

4)Escribe  las ecuaciones que permita calcular la corriente total del circuito en forma compleja y el módulo de dicha corriente.            

                    ANALISIS DE UN CIRCUITO LC

Dibuja  un circuito serie en donde aparezcan como receptores  una bobina  y un capacitor, indica además con las letras L, C, Z,  U, Ul,  Uc,  a  la bobina, el capacitor, la  impedancia  total, las caídas de tensiones parciales y la caída total, respectivamente. Escribe  las ecuaciones que permitan calcular en  forma  compleja  la impedancia y el ángulo  en función de los receptores.

Ademas elabora el diagrama fasorial y vectorial de las  tensiones y la impedancia del circuito.

Dibuja el diagrama cartesiano de la corriente y las tensiones  del circuito.

En función de lo anterior responder a lo siguiente:

1)Cuanto vale el ángulo de defasaje entre la caída de tensión  en la bobina y la corriente.

2)Cuanto vale el ángulo de defasaje entre la caída de tensión  en el capacitor y la corriente.

3)El ángulo  de defasaje de la tensión total y la  corriente  es positivo, y entre que valores límites puede variar.

4)Escribe  las ecuaciones que permita calcular la corriente total del circuito en forma compleja y el módulo de dicha corriente.

ADMITANCIA

Por medio del siguiente ejemplo trataremos de entender  la  necesidad  de aplicar el concepto de Admitancia en los  circuitos  de corriente alterna.

Se desea calcular la impedancia total de un circuito paralelo que responde a las siguientes características:

a)son tres ramas en paralelo

b)Cada  una  de  ellas esta compuesta por una resistencia  y  una bobina conectadas en serie

c)los valores de cada rama son:

R1= 10 ohm, Xl1=  5 ohm

R2=  7 ohm, Xl2= 10 ohm

R3=  9 ohm, Xl3= 15 ohm

El valor de Zt= 4,52 , ángulo 45 grados, o bien Zt= 3,19 +j3,19

Se  puede resolver el problema anterior utilizando la  definición de : ADMITANCIA CONDUCTANCIA SUCEPTANCIA.

La primera es la inversa de la impedancia Y= 1/Z

La  segunda  representa la parte real de la admitancia  G=  R/(el módulo de la impedancia al cuadrado)

La  tercera  es la parte imaginaria de la  admitancia  B=  -X/(el módulo de la impedancia al cuadrado).

La unidad de cada una de ellas es el [MHO].

Por  lo tanto la ley de OHM en función de la admitancia se puede escribir de la siguiente manera:

  [1]I= Y.U[1]

Resolver  el  problema  anterior  con lo  visto  hasta  ahora  de admitancia.

Sacar  fotocopia de la pag 145 del libro de Sobrevila (cuadro  de fórmulas y circuitos de  corriente alterna).

Escribir  la  ecuación  que  permita  calcular  el  módulo  y  el argumento  de la admitancia en función de sus componentes real  e imaginaria.

Establecer que relación existe entre el argumento de la  impedancia y la admitancia.