Conjunto de números Naturales

Interpretación geométrica del conjunto de números naturales:

Para representar el conjunto de números naturales emplearemos una recta, sobre la cual a partir de un cierto punto marcaremos en forma consecutiva segmentos iguales a uno llamado unidad.

La división de la recta se hace partiendo de un punto al que denominaremos origen.

Valor absoluto de un número natural:

Al número de unidades comprendidas entre el origen y un número dado lo denominaremos valor absoluto de dicho número, y lo indicaremos encerrándolo entre dos barras.

Relación de desigualdad de números Naturales:

Dados dos números naturales a y b, si el primero antecede al segundo diremos que a es menor que b, para lo cual utilizaremos el siguiente símbolo:

Dados dos números naturales a y b, si el primero sigue al segundo diremos que a es mayor que b, para lo cual utilizaremos el siguiente símbolo:

Resumiendo: Dado dos números naturales a y b, se pude verificar una y solo una de estas posibilidades; es decir a puede ser mayor, menor o igual que b.

Igualdad

• Reflexiva: Todo número natural es igual a si mismo

• Simétrica: Dado dos números naturales, si el primero es igual al segundo entonces el segundo es igual al primero.

• Transitiva: Dado tres números naturales, si el primero es igual al segundo y éste a un tercero, entonces el primero es igual al tercero.

Desigualdad

• Asimétrica: Dado dos números naturales, si el primero es mayor que el segundo, entonces el segundo no es mayor que el primero, puede ser menor o igual.

• Transitiva: Dado tres números naturales, si el primero es mayor que el segundo y este mayor que el tercero, entonces el primero es mayor que el tercero.

Estas probabilidades que se verifican para la relación mayor, también se cumple para la relación menor.

• El conjunto de los números naturales es infinito.
• El conjunto de los números naturales tiene primer elemento. De acuerdo con el conjunto considerado, este primer elemento puede ser cero o uno.

• Todo número natural tiene un sucesor que se considera el siguiente del número dado.

4 "tiene como sucesor" a 5

• Todo número natural tiene un antecesor, excepto el cero o el uno, de acuerdo, con el conjunto considerado.

12 "tiene como antecesor" a 11

Propiedades de la adición de números naturales

• Ley de cierre: Una operación cerrada es la suma de elementos de la misma naturaleza, ejemplo: 3 botones mas 5 botones mas dos botones dan un total de10 botones.

Sume botones y obtuve como resultado botones.

• Ley uniforme: si a ambos miembros de una igualdad de números naturales se le suma un mismo número, se obtiene por resultado otra igualdad de números.

• Ley cancelativa: Es la la propiedad reciproca de la anterior, es decir que se cancela el sumando que aparece en ambos miembros de la igualdad .

• Ley conmutativa: la adición de números naturales es una operación conmutativa.

a + b = b + a

• Ley asociativa: La adición de números naturales es asociativa.

7 + 2 + 6 + 3 + 8 + 5 + 4 =

(7 + 2) + (6 +3) + (8 + 5) + 4 = 9 + 9 + 14 + 4

• Ley disociativa: esta propiedad es la inversa de la anterior; la aplicamos cuando descomponemos un sumando en la suma de otros dos para facilitar el cáculo.

40 + 18 + 6 = 20 + 20 + 10 + 8 + 6

(20 + 20) (10 + 8)

• Ley del elemento neutro: existe un elemento en el conjunto de los números naturales que sumado a derecha o izquierda no altera la adición. Ese elemento es el cero.

0 + 5 = 5 + 0 = 5

Ya hemos visto que los números concretos pueden ser simples o compuestos.Consideremos en primer lugar la suma de números simples

Por ejemplo: 18 kg + 6 kg + 15 kg =

Sabemos que el resultado de sumar dichas cantidades es 39 kg; es decir, si sumamos kg. obtenemos kg. jamás se nos ocurrirá pensar en obtener litros o vacas.

Así como al hablar de los miembros de una familia, por ejemplo:

Juan Pérez, Susana Pérez y María Pérez, podemos abreviar diciendo:

Juan, Susana y María Pérez.

Del mismo modo, al sumar 18 kg. + 6 kg. + 15 kg. =

Podemos abreviar escribiendo (18 + 6 + 15) kg = 39 kg.

Puede ocurrir también que los números concretos dados estén expresados en distintas unidades. Por ejemplo:

18 kg. + 4 dag. + 6 g. =

Aquí es necesario realizar un paso previo: la reducción a una misma unidad que puede sercualquiera de las dadas, en nuestro caso será el gramo.

18 kg + 4 dag + 6 g =

18000 g + 40 g + 6 g = 18046 g

Restar de un cierto número m otro s, significa hallar un tercer número d tal, tal que sumado al segundo dé por resultado el primero.

Resumiendo                          m – s = d       d + s = m